En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:

• Encontrar la tangente a una curva en un punto.

• Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

• Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

• Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.

En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Issac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara a las variables como "cantidades que fluyen") mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales. Un incremento de x infinitamente pequeño se llama diferencial de x, y se anota dx. Lo mismo ocurre para y (con notación dy). Lo que Newton llamó fluxión, para Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx). No resulta difícil imaginar que, al no poseer en esos tiempos un concepto claro de límite y ni siquiera de función, los fundamentos de su cálculo infinitesimal son poco rigurosos. Se puede decir que el cálculo de fluxiones de Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se definen, no se comportan como incrementos. Esta falta de rigor, muy alejada del carácter perfeccionista de la época griega, fue muy usual en la época post-renacentista y duramente criticada. Dos siglos pasaron hasta que las desprolijidades en los fundamentos del cálculo infinitesimal se solucionaron, y hoy aquel cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los más profundos hallazgos del razonamiento humano.

Resulta muy interesante la larga y lamentable polémica desatada a raíz de la prioridad en el descubrimiento. Al principio la disputa se realizó en el marco de la cortesía pero al cabo de tres décadas comenzó a ser ofensiva hasta que en el siglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polémica se tornó cada vez mayor y finalmente se convirtió en una rivalidad entre los matemáticos británicos y los continentales.

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Historia1.htm

http://www.youtube.com/watch?v=VtY994Tvb8I

Gotfried Wilhem Leibniz 

El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los numerosos artículos que publicó en Acta y por sus cartas personales y manuscritos
que se conservan en Hannover. Entre estos documentos están los manuscritos fechados el 25, 26 y 29 de Octubre y el 1 y 11 de Noviembre
de 1675 donde Leibniz estudia la cuadratura de curvas y desarrolla su cálculo diferencial e integral.

    Uno de los ingredientes fundamentales del cálculo de Leibniz son las reglas para la manipulación de los símbolos  "" y  "d" de la integral
y la diferencial. Esto refleja sus ideas filosóficas de buscar un lenguaje simbólico y operacional para representar los conceptos e ideas del pensamiento de tal manera que los razonamientos y argumentos se puedan escribir por símbolos y fórmulas. En matemáticas su cálculo es
en parte esto, un algoritmo para escribir los métodos geométricos de cuadraturas y tangentes por medio de símbolos y fórmulas. Las otras
dos ideas fundamentales del cálculo de Leibniz son la relación entre la sumas de sucesiones con las diferencias de sus términos consecutivos
y el llamado triángulo característico.

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo/calculo.html

    

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo.pdf

Isaac Newton

Jan 4, 1643 - Mar 31, 1727

Aporte al cálculo

Newton había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis. Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la geometría analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.

                                                                http://www.xtimeline.com/evt/view.aspx?id=1087572

La serie del binomio.

La serie del binomio fue descubierta por Newton el invierno de 1664. Aparece
expuesta en dos cartas, la Epistola prior de Junio de 1676 y la Epistola posterior
de Octubre de 1676, que mandó al secretario de la Royal Society of London,
Henry Oldenburg, para que se las transmitiera a Leibniz.
Newton observa que el entonces conocido desarrollo
(a + x)n = an + n
1 an−1x + n(n − 1)
1 · 2 an−2x2 + · · · + xn
se puede generalizar para exponentes fraccionarios  = pq
como una suma infinita
(a + x) = a + 
1 a−1x + ( − 1)
1 · 2 a−2x2 + · · ·
Newton halló este resultado cuando estaba intentando estudiar la cuadratura del
c´ırculo y = (1−x2)1/2. Comparó las fórrmulas para y = (1−x2)0, y = (1−x2)1/2,
y = (1 − x2)2/2, y = (1 − x2)3/2, y = (1 − x2)4/2, . . .. De la primera, tercera,
quinta, etc.

 Problema de la tangente.

El problema de la tangente ha dado lugar a la rama del cálculo llamado cálculo diferencial, el cual se inventó más de 2000años después del cálculo integral. Las ideas principales que se encuentran detrás  del cálculo diferencial  se deben al matemático francés Pierre Fermat(1601-1665) y fueron desarrolladas por los matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727),así como por el matemático alemán Gottfried Leibniz (1646-1716).

Las dos ramas del cálculo y sus problemas principales, el problema del área y el de la tangente, parecen muy diferentes, pero existe una conexión muy íntima entre ellas. El problema dela tangente y el del área son problemas inversos.

 

Stewart,James, "Trascendentes tempranas", en Cálculo, México, 2008, pp.141.

Loren Guadalupe Hernández Martínez
Mónica Salinas Bustamante
grupo 504